每一个整数是否可以表示为三个整数的立方和？

这个听起来简单的问题，实际上却异常复杂。让我们用数学的语言来表述这个问题：是否存在整数k、x、y、z，使得对于所有的k，它们都满足丢番图方程：

k = x³ + y³ + z³。

丢番图方程是一种代数结构，其独特的性质已让数学家为之着迷了上千年。自上个世纪50年代Louis J.Mordell以来，数学家们就一直在研究该丢番图方程的解。对于有些数字来说，找到方程的解是很容易的。比如当k=29时，k = 3³ +1³ +1³ 。但这个问题很快就变得棘手起来，有一些有趣的答案即便真的存在，似乎也根本不可能被计算出来，因为所需要的数字是如此之大。

渐渐地，随着精密复杂的技术和现代计算机的出现，在100以内，除了那些已被证明是不可能以3个整数的立方和出现的数字之外，几乎每一个k值都已经被求了出来的——最后剩下的只有两个，也是最难的两个：33和42。

到了2019年3月，英国布里斯托大学的数学家Andrew Booker在超级计算机的帮助下，花了数周的时间终于找到了33的答案。在过去的64年中，数学家之所以没能找到33的解，是因为在Booker设计出他的算法之前，他们的搜索范围延伸到了远到不切实际的数轴远端，一直到±10¹⁶。

k=33的破解意味着，最后一个未被解决的数字只剩下道格拉斯·亚当斯的粉丝们最喜欢的那个。

然而，解决42就需要进入另一个复杂度。Booker联手麻省理工的数学教授Andrew Sutherland，共同对42发起进攻。

他们通过使用慈善引擎来寻找答案。慈善引擎是一个计算平台，它利用50万台家用电脑未使用的处理能力来产生一种全球超级计算机。

在经历了漫长的计算之后，最终，他们得到了答案：

42 =
(-80538738812075974)³
+ 80435758145817515³
+ 12602123297335631³

生命、宇宙、万物的终极答案是42。现在，数学家终于谱写了42的三个整数的立方和。Booker感到如释重负。他表示，在这样一个游戏中，根本无法确定能找到什么。这有点像是预测地震，只能凭借着一些粗略的概率进行计算。因此在这个游戏中，你可能在几个月之内就能找到想要的答案，也可能要再过一个世纪才能找到答案。

截止目前为止，在k<1000的数字中还有几个数字未找到解，比如390、579、627、795、975等。但Booker和Sutherland更感兴趣的却是数字3。数学家已经证明了1和2有无穷多个可预测模式的解，但他们却只找到了3的两个最平凡的、最简单的解：1³+ 1³+ 1³= 3和4³+ 4³+ (-5)³= 3，他们仍然想知道何时还能出现另一个更大的解。

参考来源：
http://www.bristol.ac.uk/news/2019/september/sum-of-three-cubes-.html
https://www.quantamagazine.org/sum-of-three-cubes-problem-solved-for-stubborn-number-33-20190326/